藤田研究室のホームページ (2024 August 21 更新)

内容：現在の研究分野, 研究業績 (論文・口頭発表), 教育関連, サテライト講座, 放送大学

現在の研究分野

1. さまざまな病的函数を初期値とする Hamilton-Jacobi flow の研究
   

   病的函数とは, 至る所連続で至る所微分不可能という, 全ての点で繋がっていてすべての点で接線を持たずギザギザだらけという「極めて悪い」性質を持つ函数です。すべての点で繋がっていながら立ち居振る舞いが極めて悪く「病的」という形容詞のつく函数です。このような函数は 1872 年に K.Weierstrass により初めて作られました。

   この5年間の研究では, このような病的函数を解析力学で現れる Hamilton-Jacobi flow で時間発展させると, 不思議なことに, 立ち居振る舞いが極めて悪かった病的函数が一瞬のうちに区分的に放物線になることを調べてきました。すなわち, 各小区間ごとに放物線で大きな区間ではそれらの放物線を繋げたものです。放物線は中学でも習う性格の良い曲線ですから、一瞬のうちに最悪の性質から性格の良い曲線を繋げたものに変化します。

   ところが、最近、一瞬のうちに性格の良い放物線を繋げたものになる Hamilton-Jacobi flow が現れるのは初期値が病的函数のときだけということも示せました。従って、このような現象は初期値が病的函数に固有の現象です。

   どこかに、一瞬のうちに放物線を繋げた曲線が現れる現象はないでしょうか？

   
   

   研究業績(論文，2005 年〜)

   　　　単著のときは, 最後の (…) 部分がなし
   1. Hamilton--Jacobi flows with nowhere differentiable initial data, Mathematische Annalen 385 (2023), 1061--1084 https://doi.org/10.1007/s00208-021-02353-w (Fujita, Y., Siconolfi, A., Yamaguchi,N.) Open Access
   2. A self-affine property of evolutional type appearing in a Hamilton--Jacobi flow starting from the Takagi function, Michigan Mathematical Journal 71 (2022), 105--120 https://doi.org/10.1307/mmj/20195782 (Fujita, Y., Hamamuki,N., Yamaguchi,N.)
   3. The best constant for an inequality related to the Mathieu series, Toyama Math. J. Vol. 43(2022), 77--90 (Azuma, H., Fujita, Y.)
   4. All the generalized characteristics for the solution to a Hamilton--Jacobi equation with the initial data of the Takagi function, SN Partial Differential Equations and Applications "Viscosity solutions - Dedicated to Hitoshi Ishii on the award of the 1st Kodaira Kunihiko Prize" 1;Article 38, 20 pages (2020) https://doi.org/10.1007/s42985-020-00039-7 (Fujita, Y., Hamamuki,N., Yamaguchi,N.)
   5. A class of nowhere differentiable functions satisfying some concavity-type estimate, Acta Mathematica Hungarica 160 (2020), 343--359 doi:10.1007/s10474-019-01007-3 (Fujita, Y., Hamamuki,N., Siconolfi, A., Yamaguchi,N.)
   6. New Sharp Gagliardo--Nirenberg--Sobolev Inequalities and an Improved Borell--Brascamp--Lieb Inequality, International Mathematics Research Notices, IMRN (2020) 3042--3083 https://doi.org/10.1093/imrn/rny111 (Bolley, F., Cordero-Erausquin, D., Fujita, Y., Gentil, I., Guillin, A.)
   7. Lower estimates of $L^{\infty}$-norm of gradients for Cauchy problems, Journal of Mathematical Analysis and Applications 458 (2018), 910-924 http://dx.doi.org/10.1016/j.jmaa.2017.08.045
   8. On the sets of maximum points for generalized Takagi functions, Toyama Mathematical Journal 39 (2017), 87-94 (Fujita,Y., Saito, Y.)
   9. A supplementary proof of L^p--logarithmic Sobolev inequality, Annales de la Facult{\'e} des Sciences de Toulouse 24 (2015), 119-132
   10. Lipschitz constants and logarithmic Sobolev inequality, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 408 (2013) 705-712
   11. Uniqueness sets for minimization formulas, Differential and Integral Equations 25 (2012), 579-588 (Fujita, Y. and Ishi,H.)
   12. An optimal logarithmic Sobolev inequality with Lipschitz constants , Journal of Functional Analysis, 261 (2011), 1133-1144
   13. Long-time behavior of solutions to Hamilton-Jacobi equations with quadratic gradient term, Nonlinear Differential Equations and Applications16 (2009), 771-791 (Fujita, Y. and Loreti.P.)
   14. Inequalities and the Aubry-Mather theory of Hamilton-Jacobi equations, Communications on Pure and Applied Analysis 8 (2009), 683-688 (Fujita, Y. and Ohmori, K.) .
   15. Asymptotic solutions with slow convergence rate of Hamilton-Jacobi equations in Euclidean n space, Differential and Integral Equations 20 (2007), 1185-1200 (Fujita, Y. and Uchiyama, K.)
   16. On a critical role of Ornstein-Uhlenbeck operators in the Poincare' inequality, Differential and Integral Equations 19 (2006), 1321-1332
   17. Asymptotic solutions of Hamilton-Jacobi equations in Euclidean n space, Indiana Univ. Math. J. 55 (2006), 1671-1700, (Fujita, Y., Ishii, H. and Loreti, P.)
   18. Asymptotic solutions of viscous Hamilton-Jacobi equations with Ornstein-Uhlenbeck operator, Communications in PDE, 31 (2006) 827-848 (Fujita, Y., Ishii, H. and Loreti, P.)
   19. On basin of zero-solutions to a semilinear parabolic equation with Ornstein-Uhlenbeck operator, J. Inequalities and Applications,, (2006) Art. ID 52498, 10 pp
   20. Hessian estimates for viscous Hamilton-Jacobi equations with Ornstein-Uhlenbeck operator, Differential and Integral Equations,, 18 (2005) 1383-1396
   21. A refinement of the Poincare' inequality for the Kolmogorov operators on Rd, J. Inequalities and Applications, Vol.2005 (2005), 25-31

   研究業績(口頭発表，2005 年〜)

   1. Hamilton--Jacobi flow から見るWeierstrass 函数と高木函数の差異, 日本数学会2024年度秋季総合分科会, 2024.09.04, 函数方程式分科会, 大阪大学　（山口 範和 氏との共同研究）
   2. A distinction between the Weierstrass function and the Takagi function by Hamilton-Jacobi flows, 第41回九州における偏微分方程式研究集会, 2024.01.22, 九州大学西新プラザ https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/FE-Seminar/kyu-pde/ （山口 範和 氏と Antonio Siconolfi 氏との共同研究）
   3. Hamilton-Jacobi flow と初期値の至る所微分不可能性, 日本数学会2022年度秋季総合分科会, 2022.09.13, 函数方程式分科会, 北海道大学　（山口 範和 氏とAntonio Siconolfi 氏との共同研究）
   4. 至る所微分不可能な初期値をもつ Hamilton-Jacobi flow, 第770回『応用解析』研究会, 2022.06.25, 早稲田大学理工学術院 先進理工学部 (山口 範和 氏と Antonio Siconolfi 氏との共同研究)
   5. 高木函数を初期値とする Hamilton-Jacobi 方程式における特異性の伝播, 日本数学会2020年度秋季総合分科会, 函数方程式分科会, 学会は中止(講演は成立), 熊本大学　（山口 範和 氏と浜向 直 氏との共同研究）
   6. 至る所微分不可能な函数と Hamilton-Jacobi flow, 福岡大学解析セミナー, 2019.12.07, 福岡大学理学部 （山口 範和 氏と浜向 直 氏と Antonio Siconolfi 氏との共同研究）
   7. Hamilton-Jacobi 方程式に現れる時間発展型のself-affine 性, 日本数学会2019年度秋季総合分科会, 函数方程式分科会, 2019.09.18, 金沢大学　（山口 範和 氏と浜向 直 氏との共同研究）
   8. A self-affine property appearing in a Hamilton--Jacobi flow starting from the Takagi function, New trends in Hamilton-Jacobi: PDE,Control,Dynamical Systems and Geometry, July 1-6, 2019, Fudan University, Shanghai, China （山口 範和 氏と浜向 直 氏との共同研究）
   9. A geometrical characterization of a class of nowhere differentiable functions, International Conference "Viscosity Solutions and Related Topics", 2018.11.22-11.24, 東北大学理学研究科　（山口 範和 氏と浜向 直 氏と Antonio Siconolfi 氏との共同研究）
   10. A class of everywhere continuous and nowhere differentiable functions and its connection with a Hamilton-Jacobi equation, The tenth meeting on Probability and PDE, 2018.07.19-07.20, 津田大学　（山口 範和 氏と浜向 直 氏と Antonio Siconolfi 氏との共同研究）
   11. 病的函数を初期値とする Hamilton-Jacobi flow の幾何学的性質, 九州関数方程式セミナー, 2017.10.20, 福岡大学六本松セミナーハウス　 （山口 範和 氏と浜向 直 氏と Antonio Siconolfi 氏との共同研究）
   12. On a geometrical property of Hamilton-Jacobi ow starting from some pathological function, Nonlinear PDE for Future Applications 　- Optimal Control and PDE -, 2017.07.17-07.21, 東北大学理学研究科（山口 範和 氏と浜向 直 氏との共同研究）
   13. On Hamilton-Jacobi equation with initial data of the Takagi function, 北大 PDE セミナー, 2016.10.28, 北海道大学
   14. 一様放物型方程式の解の gradient の下からの評価について, 日本数学会2016年度秋季総合分科会, 函数方程式分科会, 2016.09.16, 関西大学
   15. On a Gagliardo-Nirenberg type inequality for log-concave functions, RIMS研究集会「偏微分方程式の漸近問題と粘性解」, 2015.12.04, 京都大学・ 数理解析研究所
   16. Application of a logarithmic Sobolev inequality to gradient bounds of solutions of parabolic equations, 研究集会「確率論と幾何学」, 2105.11.10, 東京工業大学
   17. On a Sobolev-type inequality for log-concave functions via a Hamilton-Jacobi equation , 早稲田大学における講演会(講演者 3 名), 2015.08.03, 早稲田大学教育・総合科学学術院
   18. Hamilton--Jacobi 方程式における Lipschitz 正則効果の立ち上がりの rate について, 第12回浜松偏微分方程式研究集会, 2014.12.23, 静岡大学工学部
   19. From Hamilton-Jacobi equation to logarithmic Sobolev inequality with Lipschitz constants, THE NINTH MEETING ON PROBABILITY AND PDE, 2014.11.14, 津田塾大学小平キャンパス
   20. A proof of $L^p$--logarithmic Sobolev inequality via several approximations, 研究集会「確率解析とその周辺」, 2014.10.15, 東北大学大学院理学研究科
   21. ルベーグ測度に関する対数型ソボレフの不等式とその応用, 2014年度松江セミナー, 2014.06.27, 島根大学総合理工学部
   22. Asymptotic behavior to Hamilton--Jacobi--Bellman equation via 　logarithmic Sobolev inequality, Stochastic Processes and Mathematical Finance, 2014.02.24--25, 関西大学
   23. 対数型 Sobolev の不等式による Hamilton-Jacobi-Bellman 方程式へのアプローチ, 広島数理解析セミナー, 2013.07.26, 広島大学
   24. p-parabolic equation and logarithmic Sobolev inequality, Partial Differential Equations Fukae Work Shop, 2013.01.24--26, 神戸大学海事科学部
   25. p-放物型方程式の解の超縮小性と対数型ソボレフの不等式, 第 93 回熊本大学応用解析セミナー, 2012.11.10, 熊本大学
   26. Parabolic p-Laplace equation and logarithmic Sobolev inequality, 九州関数方程式セミナー, 2012.07.13, 福岡大学六本松セミナーハウス
   27. Lipschitz regularizing effect and its application for Hamilton--Jacobi equations with discontinuous initial data, 非線形偏微分方程式研究会, 2012.03.05-06, 早稲田大学
   28. 対数型 Sobolev の不等式と Hamilton-Jacobi 方程式の解の超縮小性について, 解析ゼミ第56回粘性解ダブルス, 2011.12.16, 埼玉大学
   29. Hamilton-Jacobi 方程式から導かれる対数型 Sobolev の不等式とその応用, 研究集会「確率解析とその周辺」, 2011.11.11-13, 佐賀大学
   30. Lipschitz 定数を含む対数型 Sobolev の不等式とその応用, 解析月曜セミナー, 2011.10.31, 東北大学
   31. Hamilton-Jacobi 方程式から導かれる対数型ソボレフの不等式, 日本数学会2011年度秋季総合分科会, 函数方程式分科会, 2011.09.28-10.01, 信州大学
   32. A logarithmic Sobolev inequality induced by Hamilton-Jacobi equations, 研究集会「Weak KAM Theory in Italy」, 2011.09-12-16, Cortona
   33. Hamilton-Jacobi 方程式の解の超縮小性と Lipschitz regularizing effect, 日本数学会 2011 年度年会, 函数方程式分科会, 2011.03.20-03.23, 早稲田大学理工学術院（震災で中止. 講演は成立）
   34. Some topological results for minimal uniqueness sets of Hamilton-Jacobi equations, 「第27回九州における偏微分方程式研究集会」, 2010.01.25-27, 於 九州大学
   35. An approach to classical inequalities　via Hamilton-Jacobi equations, 研究集会「広島応用解析セミナー(第 12 回）, 2010.01.13, 於 広島大学
   36. Hamilton-Jacobi方程式の商Aubry集合の完全不連結性と極小一意性集合の存在, 富山大学理学部数学教室 2009 年度第 2 回談話回, 2009.12.22, 富山大学
   37. On Hamilton-Jacobi equations and Euclidean logarithmic Sobolev inequalities, "研究集会「Viscosity Solutions of Differential Equations and Related Topics 」"2009.06.24-26, 京都大学数理解析研究所
   38. Aubry-Mather 理論から導かれる不等式について, 実解析学シンポジウム2008, 2008.11.07-09, 山口大学
   39. Hamilton-Jacobi 方程式の商 Aubry 集合の完全非連結性について, 日本数学会秋季総合分科会，函数方程式分科会, 2008.09.24-27, 東京工業大学
   40. Hamilton-Jacobi 方程式により導くことができる不等式について, 日本数学会秋季総合分科会，函数方程式分科会, 2008.09.24-27, 東京工業大学 （大森 克史 氏との共同研究）
   41. Inequalities induced by Hamilton-Jacobi equation, 研究集会「Viscosity, metric and control theoretic methods in nonlinear PDEs: analysis, approximations, applications」, 2008.09.02-05 SAPIENZA Universita di Roma
   42. Some relations between Aubry sets and quotient Aubry sets, 研究集会「Viscosity Solutions of Differential Equations and Related Topics」, 2008.06.25-27 京都大学数理解析研究所
   43. Hamilton-Jacobi 方程式に対する内部 Dirichlet 問題について , Mini-Workshop「KAM 理論と粘性解」, 2008.03.19-20　福岡大学
   44. On uniqueness sets for H-J equations, 研究集会「非線形偏微分方程式とその応用」, 2008.01.08-11　神戸大学
   45. Hamilton-Jacobi 方程式の解の構造を決める極小な集合について, 九州関数方程式セミナー, 2007.11.02　九州大学
   46. Hamilton-Jacobi 方程式の最小一意性集合とカントール集合, 研究集会「確率論と PDE」，2007.10.15-16　広島大学,
   47. The Cantor set and minimal uniqueness sets for Hamilton-Jacobi equations, 10 settembre 2007　ローマ大学, Dipartimento di Metodi e Modelli Matematici, Lunedi'
   48. n 次元ユークリッド空間上の Hamilton-Jacobi 方程式の最小一意性集合の存在と非存在, 日本数学会秋季総合分科会，函数方程式分科会, 2007.09.21-24, 東北大学
   49. Existence and nonexistence of the minimal uniqueness set for Hamilton-Jacobi equations, 粘性解生誕２５周年国際研究集会 (International Conference for the 25th Anniversary of Viscosity Solution), 2007.06.04-06, 東京大学・数理科学研究科
   50. R^n 上の Hamilton-Jacobi 方程式の解の漸近解への収束率の遅延要因, 日本数学会 2007 年度年会, 函数方程式分科会, 2007.03.27-03.30, 埼玉大学理学部（内山 和哉 氏との共同研究）
   51. R^n 上の Hamilton-Jacobi 方程式の解の定常解への収束率とその周辺，日本数学会秋季総合分科会，実函数論分科会特別講演, 2006.09.19-09.22, 大阪市立大学
   52. Convergence rates appearing in long-time asymptotics for Hamilton-Jacobi equations in Euclidean $n$ space，研究集会 「Equazioni alle derivate parziali non lineari e Applicazioni」, 2006.06.19-06.24 イタリア・コルトーナ
   53. Convergence rates of asymptotic solutions to Hamilton-Jacobi equations in Euclidean n space, 研究集会 「Viscosity Solution Theory of Differential Equations and its Developments」，2006.05.31-06.02 京都大学数理解析研究所
   54. On a characterization of a class of Ornstein-Uhlenbeck operators by the Poincare' inequality, 松山解析セミナー，2006.02.14-15　愛媛大学
   55. R^d 上の不変測度に対する Poincare の不等式について, 実解析シンポジウム, 2005.11.12　首都大学東京
   56. Asymptotic solutions and Aubry sets for Hamilton-Jacobi equations, PDE実解析研究会（北大COE協賛） 2005.11.09 東京大学
   57. R^N 上の Hamilton-Jacobi 方程式の時間無限大での漸近解について（石井 仁司 氏と Paola Loreti 氏との共同研究）, 日本数学会 05 年度秋季総会（関数方程式分会） 2005.09.19-22　岡山大学
   58. R^N 上の Hamilton-Jacobi 方程式の時間無限大での漸近解の収束率と Aubry set（石井 仁司 氏と Paola Loreti 氏との共同研究）, 日本数学会 05 年度秋季総会（関数方程式分会） 2005.09.19-22　岡山大学
   59. On the principal eigenvalues of Kolmogorov operators on R^d, 研究会「確率論と PDE」, 2005.08.30-09.01 北海道大学
   60. Projected Aubry sets and convergence rates of long-time asymptotics for Hamilton-Jacobi equations on RN, 研究集会 「Viscosity Solution Theory of Differential Equations and its Developments」, 2005.06.29-07.01 京都大学数理解析研究所

教育関連（４年生ゼミ, 大学院のゼミで何を勉強しているかを中心に）

1. ４年生のゼミについて 　 この 5 年間は, A Beginner's Guide to the Theory of Viscosity Solutions (S.Koike) を読んでいます. また, 解析学のの基礎（イプシロン・デルタ論法, 一様収束など）を通年で復習しています.
2. 大学院のゼミについて 　粘性解理論に関連した所で，各々課題を決めて勉強しています. また, 病的函数を課題にしている学生も多くいます.
3. 理工学研究科での今まで指導した修士論文提出者の題名 （ゼミ生として専属的に指導した修了者のみ）
   • [平成 12 年度：]Four proofs of the ergodic theorem
   • [平成 12 年度：]Beckenbach の不等式
   • [平成 12 年度：]連続型のエルゴード定理について
   • [平成 15 年度：]Σ_{n=1}^{∞} 1/n^2 =π^2/6 の 9 つの証明と整数論への応用
   • [平成 15 年度：]一様可積分性について
   • [平成 16 年度：]楕円型方程式および放物型方程式に対する比較定理
   • [平成 18 年度：]Hamilton-Jacobi 方程式の解の漸近解への収束率の解析
   • [平成 19 年度：]Hamilton-Jacobi 方程式に対する弱 KAM 理論について
   • [平成 19 年度：]Hamilton-Jacobi 方程式の解の表現定理について
   • [平成 20 年度：]Hamilton-Jacobi 方程式の Aubry 集合に基づく比較定理について
   • [平成 20 年度：]Hamilton-Jacobi 方程式の解の存在, 一意性および正則性について
   • [平成 23 年度：]Bernstein の定理の 6 つの証明とそれらにおける全単射写像の構成法 (この Bernstein は Felix Bernstein で、Felix は作曲家のメンデルスゾーンにちなむそうです。Sergei Bernstein ではありません)
   • [平成 24 年度：]Sobolev の不等式と対数型 Sobolev の不等式
   • [平成 28 年度：]至る所連続で至る所微分不可能な函数の研究
   • [令和 元 年度：]From a covex function to a pathological function and an approximately convex function
   • [令和 元 年度：]高木函数に関する Boros の不等式
   • [令和 2 年度：]粘性解理論における比較原理
   • [令和 3 年度：]Mathieu の不等式の研究
   • [令和 3 年度：]初期値の微分不可能性と Hamilton--Jacobi flow に現れる特別なグラフ
   • [令和 5 年度：] 熱方程式の最大値原理と解の一意性
   • [令和 5 年度：] 2 階微分作用素に対する強最大値原理

サテライト講座, 放送大学

　　
1. サテライト講座 　2015.10.31 に富山駅前CICビル3階で行った富山大学サテライト講座で, 「大学の数学は何をしているのか？」−微分ちゃ何け？−, というタイトルで講演をしてきました. 内容は, Weierstrass という数学者が作った奇妙だが, 数学者の魂を揺さぶる病的函数の話です. 当日は 120 名以上の方が来て, びっくりしました. 好評だったらしい!? なお, この日は Weierstrass の生誕 just 200 年の記念日でした (彼は, 1815.10.31 生まれ). この日にこの話を出来たのは, Weierstrass 大先生のお導きだと信じたいです.
   今年, 2021年10月30日にもサテライト講座で話します.
2. 放送大学 　
   • 放送大学面接授業「数学における解析学の厳密な入門」2017.11.18-19日, 放送大学富山学習センター
   • 放送大学面接授業 「数学における解析学の厳密な入門その2」 2018年11月10-11日, 放送大学富山学習センター
   • 放送大学面接授業 「数学における解析学の厳密な入門その3」 2019年12月14-15日, 放送大学富山学習センター
   • 放送大学面接授業 「数学における微分法の厳密な入門」 2020年11月7-8日, 放送大学富山学習センター

読書関連

読書 　毎年, 冬前に新田次郎「八甲田山死の彷徨」, 夏に V.E.フランクル「夜と霧」. 自分への若い頃からの自省に基づき, この2冊は読むようにしています.