Fourier 級数：複素 Fourier 級数

Fourier 級数を、オイラーの公式を用いて、複素表示することを考える。これは、cos と sin を用いた表示と本質的には変わらないが、表示の対称性・複素関数への拡張性・フーリエ変換の導入などの観点から、重要な表示である。

f(x) を周期 の周期関数とする。このとき、その Fourier 級数は、オイラーの公式からみちびかれる cos, sin の複素表示を用いると、

となる。ここで、

とおくと、上式は

となる。ただし、ここで、

(n=1,2,3...：なお、 n=0 および n=-1,-2,-3,.... のときも同様）である。

このような級数を f(x) の複素 Fourier 級数という。