以下の例では、f(x) を -π から π の範囲で与える。この範囲外では、周期的に繰り返されている。
また、Fourier 級数の cos nx, sin nx までの項の和を
Sn(x) と表すことにする。すなわち、
とする。
例１
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Fourier 級数の係数 an, bn を計算すると、
となる。このことから、Sn(x) を
n=1,2,...,8
について計算し、グラフとサウンドを並べると以下のようになる。見較べ・聞き較べて頂きたい。（f(x)
のグラフは青で、Sn(x)
のグラフは赤で示す。）
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1 |
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2 |
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3 |
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4 |
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5 |
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6 |
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7 |
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8 |
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例2
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Fourier 級数の係数 an, bn を計算すると、
となる。このことから、Sn(x) を
n=1,2,...,8
について計算し、グラフとサウンドを並べると以下のようになる。見較べ・聞き較べて頂きたい。（f(x)
のグラフは青で、Sn(x)
のグラフは赤で示す。）
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1 |
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2 |
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3 |
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4 |
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5 |
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6 |
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7 |
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8 |
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例3バイオリンの音 |
バイオリンの音色の各倍音のエネルギーは以下のようになっている（らしい）。［小出著・「物理現象のフーリエ解析」による］
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n |
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1 |
0.1 |
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2 |
26.0 |
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3 |
45.2 |
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4 |
8.8 |
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5 |
8.5 |
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6 |
4.5 |
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7 |
0.1 |
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8 |
4.8 |
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9 |
0.1 |
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10 |
0.0 |
ここで、En は、(an2
+ bn2) n2
に比例するから、仮に an=0
とすれば、bn は (En
の平方根)/n に比例する。このことから、Fourier
級数を作ると、
0.316228 sin x + 2.54951 sin 2x + 2.24103 sin 3x +
0.74162 sin 4x + 0.583095 sin 5x + 0.353553 sin 6x + 0.0451754 sin
7x + 0.273861 sin 8x + 0.0351364 sin 9x + 0.0 sin 10xとなる。
そのグラフは、
となり、そのサウンドは
である。−−−−−− 残念ながら、バイオリンの音とは思えない ;_;［何故か？を考えてみて欲しい。］
例１と例２を見ると、フーリエ級数の係数 an,
bn
（これらをフーリエ係数という）について気が付くことがあるだろう。例１では
an はすべて 0 であり、例２では
bn がすべて 0
となっている。これは、偶々起こった現象ではなく、以下のように一般化される：
f(x) が偶関数（つまり f(-x) = f(x)
）ならば、bn はすべて 0。つまり、cos
のみの級数となる。f(x) が奇関数（つまり f(-x) = - f(x)
）ならば、an はすべて 0。つまり、sin
のみの級数となる。各自、証明をしてみて欲しい。