Fourier 級数：任意周期の周期関数の Fourier 級数

周期関数の周期は、勿論 2π であるとは限らない。例えば、Ａの音（ハ調のラの音）は、440 Hz であるから、周期は、1/440（秒）である。よって、自然現象を考える場合には、周期が任意の定数の場合に Fourier 級数を考えておく必要がある。

f(x) を周期 の周期関数とする。（都合により、 ではなく、その２倍の とする。）

このとき、

とおくと、

となり、g(y) は周期 2π の周期関数となる。よって、g(y) の Fourier 級数は

で与えられる。ここで、

である。

ところが、、すなわち、 を使うと、

f(x) = g(y) の Fourier 級数は、

となることがわかり、さらに置換積分により、

と書くことができる。

以上まとめると次の定理を得る。

定理（任意周期の周期関数のフーリエ級数） 周期 の周期関数 f(x) のフーリエ級数は で与えられる。ここで、an, bn は により計算される。