Fourier 級数：Introduction

関数を「級数」で近似するという手法は、数学的にも重要であるのみならず、「測定誤差」から逃れることの出来ない実験系の諸分野においては、「真の値の近似値を求める」という意味で極めて重要な意味を持っている。

級数の代表的なものは、ベキ級数展開（Taylor 級数）であろう。関数 f(x) の x=a における Taylor 級数は、x が a に近い場合には、近似する次数が低い場合であっても、 f(x) の値の極めて良い近似値を与えることが多い。例えば、以下に示す exp(x) の x=0 における Taylor 展開では、exp(0.1) の真の値が、Taylor 級数の 5 次の項までの和で、小数点以下 7 ケタまで近似されている。

• exp(0.1) の真の値 = 1.1051709...
• exp(x) = 1 + x + 1/2 x^2 + 1/3! x^3 + 1/4! x^4 + 1/5! x^5 +... の x=0.1 での値：

このように、Taylor 級数は x が a に近い値の場合には良好な近似を与えるが、x が a から離れるに従って近似の精度は一般に非常に悪くなっていく。このことは、

• f(x) には何の制限もないため、全ての x において良い近似を求めること自体、もともと無理である
• 多項式は、x→±∞ のとき、必ず ±∞ に発散する。

という２点からも当たり前のことであると言えよう。

では、f(x) に何らかの制限を与えて、多項式以外の適切なものの級数で f(x) の近似式を与えることは出来ないだろうか？

その答の一つが、Fourier 級数である。

Fourier 級数は、f(x) が周期関数であるときに、代表的な周期関数の cos や sin を用いた級数で f(x) を近似する手法であり、自然現象にあらわれる様々な周期的現象（音波、振動、心電図、脳波など）を記述する際に極めて有用なものと言えよう。