Fourier 級数：Fourier 級数の性質

Fourier 級数を微分方程式の解法などの微積分に用いようとするときに必要となるのが、その微分と積分である。Fourier 級数においては、項別積分・項別微分（つまり、級数の微分・積分は、各項を微分・積分したものの級数になるということ）が可能である。正確に書くと以下のようになる。［以下の定理では、周期が 2π のときを示すが、一般の周期の場合にも同様である。］

定理（項別積分） f(x) が [-π,π] で区分的に連続であれば、任意の x ∈ [-π,π] に対して、 が成立する。(注：a0 が 0 でないとき、右辺は周期関数ではない。）

定理（項別微分） 周期 2π の周期関数 f(x) が連続で、[-π,π] で区分的に滑らかならば、f'(x) の Fourier 級数は で与えられる。この級数は、f'(x) の不連続点を除いて、f'(x) に収束する。（注：f(x) が周期関数ならば、f'(x) も周期関数である。）