Fourier 変換：Fourier 積分

周期関数とは限らない関数 f(x) を周期 の周期関数で近似するにはどうしたらよいか？

最も安直な方法は、f(x) を区間 に制限して、残りを周期的に拡張して得られる関数 を考えるという方法である。

そして、 の Fourier 級数を考えて、その後で としてやれば、f(x) の Fourier 級数（もどき）ができるとは考えられないだろうか。

以下、このような方針に従って f(x) の Fourier 級数（もどき）を考えていく。

　---- (1)

となる。ここで、係数の式

を代入して変型していくと、(1) 式は、

--- (2)

となる。ここで、最後の式の（ ）の中の和のうちで

の部分を計算すると、

となる（積分の区分求積法！）。よって、

ゆえに (2) 式は、 とすることにより、次の式に収束していく。

これが、（周期関数とは限らない）関数 f(x) の Fourier 級数（もどき）である。これを f(x) の（複素型）Fourier 積分という。

Fourier 級数の場合と同様に、f(x) の Fourier 積分が f(x) と等しくなるという保証はない。そこで、

と表すことにする。これが何時 f(x) と等しくなるかという問題については、Fourier 級数の場合と同様に以下のような定理が成立する。

定理（Fourier の積分定理） 関数 f(x) が全区間 において区分的に滑らかであり、絶対積分可能（つまり、 ）ならば、その Fourier 積分は、 f(x) が連続な点 x では f(x) に一致する。 f(x) が不連続な点 x では に一致する。 特に、f(x) が連続ならば、Fourier 積分は f(x) と一致する。