Fourier 変換：Fourier 変換

以下、簡単のために、f(x) が連続であり、Fourier の積分定理の条件を満たすとする。つまり、 関数 f(x) の Fourier 積分が、f(x) と等しくなる場合のみを考える。つまり、

が成立しているとする。このとき、

というように分けて考えて、カッコの中を、

とおけば、

--- (1)

と書くことができる。この のことを のフーリエ変換という。また、(1) 式を、フーリエ変換の反転公式という。また、 を の逆フーリエ変換ということもある。

［注］
フーリエ変換と逆フーリエ変換では、非常に定義式が似ているが、フーリエ変換では e の 乗を掛けて積分し、逆フーリエ変換では e の 乗を掛けて積分している。このように符号が違っていることに注意！

周期 の周期関数のフーリエ級数において、an , bn は 　や　　の係数であった。これらの項は、f(x) の「周波数 成分」を表すと考えられる。an , bn は（定数倍を除くと）f(x) に や を掛けたものを積分して得られることに留意すると、f(x) に や を掛けたものを積分すると、f(x) の「周波数 の成分の大きさ」が求められるということになる。これは一般化すると、f(x) に や を掛けたものを積分すると、f(x) の「周波数 の成分の大きさ」が求められると考えられる。フーリエ変換の定義が、f(x) に を掛けたものを積分したものであることを考えると、

フーリエ変換 は、f(x) の「周波数 の成分の大きさ」を表すもの

と考えられる。 このような性質を「フーリエ変換は、f(x) のスペクトル分解を与える」と言う。

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Fourier 余弦変換，Fourier 正弦変換

で定義された f(x) を f(-x) = f(x) によって全区間に拡張すると、f(x) は偶関数となる。このとき、

となる。

そこで、 で定義された f(x) について、

を f(x) の Fourier 余弦変換（Fourier Cosine Transform）という。この関数は再び偶関数となっているから、フーリエ逆変換も同様に変型され、

という反転公式が成立する。

が定義され、これについても反転公式

が成立する。

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