合成関数の微分

\( \displaystyle x \) の近傍（\( \displaystyle x \)を含む極く小さな区間）が 関数 \( \displaystyle f \) によって約何倍に移されるか？という拡大率（注）

（注）拡大率が負の場合には，正負の向きを逆にして写すということを意味する。 また， \( \displaystyle -1 < \) 拡大率 \( \displaystyle < 1 \) の時には，縮小率と言うべきで あろう。

関数 \( \displaystyle y=f(x) \) と関数 \( \displaystyle z=g(y) \) との合成関数 \( \displaystyle z=(g \circ f)(x) = g(f(x)) \) を考える。

この図において，\( \displaystyle x \) の近傍 （以下， で表す。）が 関数 \( \displaystyle f, \; g \) によって次々とどのように写されていくか？ ということを考えてみよう。

まず，\( \displaystyle x \) の近傍 は，関数 \( \displaystyle f \) により， \( \displaystyle f(x) \) の近傍 に 写される。 その拡大率は，\( \displaystyle f'(x) \) （関数 \( \displaystyle f \) の，点 \( \displaystyle x \) における微分係数）である。

次に，\( \displaystyle f(x) \) の近傍 は，関数 \( \displaystyle g \) により， \( \displaystyle g(f(x)) \) の近傍 に 写される。 その拡大率は，\( \displaystyle g'(f(x)) \) （関数 \( \displaystyle g \) の，点 \( \displaystyle f(x) \) における微分係数）である。

結局，\( \displaystyle x \) の近傍 は， 合成関数 \( \displaystyle g \circ f \) により， \( \displaystyle g(f(x)) \) の近傍 に 写されることになるが，その拡大率は，上の２つの拡大率の積，つまり， \( \displaystyle g'(f(x)) \times f'(x) \) となる。

以上により，合成関数の微分の公式は，

となることが理解できるだろう。

この間違った公式において，\( \displaystyle g'(x) \) というのは， 関数 \( \displaystyle g \) の 点 \( \displaystyle x \) における拡大率 （上の図では， から への拡大率）を 意味しており，\( \displaystyle f'(x)\) と \( \displaystyle g'(x) \) を掛け合わせても全く意味の無い数字になってしまうことが理解できよう。

このような間違いをおかす人は合成関数の微分の意味が全く理解できていないと言わざるを得ない。（採点者の心証を，極めて悪くする！！）