定積分

区間 \( [a,\,b] \) 上で定義された 関数 \( y = f(x) \) の 定積分を定義し，その意味を考える。

\( a = x_0 < x_1 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b \) となるような点 \( x_0, \, x_1 , \ldots ,\, x_{n-1} ,\, x_n \) をとり， \( I_k = [x_{k-1},\, x_k ] \;\;(k=1,2,\ldots,n) \) とおく。これにより，区間 \( [a,\,b] \) が 小区間 \(I_1,\,I_2,\,\ldots,I_n \) に 分割されることになる。

各区間 \(I_k\) 内に任意に点 \( \xi_k \)をとり， そこでの f の値 \( f(\xi_k) \) を考える。

さらに，\( f(\xi_k) \mu(I_k) \) を考える。ここで， \( \mu(I_k) \) は区間 \( I_k \) の長さを表す。つまり，\( \mu(I_k) = x_k - x_{k-1} \) 。

ここで，\( f(\xi_k) \mu(I_k) \) の合計 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} f(\xi_k) \mu(I_k) \) の，分割を限りなく細かくしていったときの極限値を \( f \) の \( [a, \, b] \) における 定積分 といい，

\( \displaystyle \int_a^b f(x) \, dx \)

と書く。すなわち，

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} f(\xi_k) \mu(I_k) = \sum_{k=1}^{n} f(\xi_k) (x_k-x_{k-1}) \; \to \; \int_a^b f(x) \, dx \)

である。