\( \displaystyle y=f(x)=\sin \frac{1}{x} \) のグラフ
\( \displaystyle x = 0 \) の近くでの関数の値の様子から分かるように， \( \displaystyle x \) が \( \displaystyle x > 0 \) の範囲から \( \displaystyle 0 \) に近づいても，また， \( \displaystyle x < 0 \) の範囲から \( \displaystyle 0 \) に近づいても，\( \displaystyle y \) の 値が一定の値に近づいていくことはない。 （ \( \displaystyle y \) は，\( \displaystyle -1 \) から \( \displaystyle 1 \) の範囲を振動し続ける。）故に，この関数については，
ということになる。
- \( \displaystyle \lim_{x \to +0} \; f(x) \) は存在しない（振動）
- \( \displaystyle \lim_{x \to -0} \; f(x) \) も存在しない（振動）
- 勿論，\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \; f(x) \) も存在しない（振動）
- 当然，関数 \( \displaystyle y=f(x)=\sin \frac{1}{x} \) は，\( \displaystyle x=0 \) において連続ではない（不連続）
この関数においては， \( \displaystyle x \) が \( \displaystyle x > 0 \) の範囲から \( \displaystyle 0 \) に近づいても，また， \( \displaystyle x < 0 \) の範囲から \( \displaystyle 0 \) に近づいても，\( \displaystyle y \) は， \( \displaystyle -x \) と \( \displaystyle x \) の間の値しかとり得ない。
\( \displaystyle x \to 0 \) のとき，\( \displaystyle x, \; -x \) は共に \( \displaystyle 0 \) に近づいてゆくから， 挟み撃ちの原理により，
今，\( \displaystyle f(0)=0 \) と定義してあるから，\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \; f(x)= f(0) \) となり，関数 \( \displaystyle y=f(x)=x \sin \frac{1}{x} \) は，\( \displaystyle x = 0 \) においても連続 ということになる。
- \( \displaystyle \lim_{x \to +0} \; f(x)=0 \)
- \( \displaystyle \lim_{x \to -0} \; f(x)=0 \)
- 故に，\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \; f(x)=0 \)