z = f(x,y) が与えられたとき、
xy 平面上の各点 (a,b)
において、ベクトル ( fx(a,b), fy(a,b) )
を対応させることにより、平面上で定義されたベクトル値関数
を考えることができる。
このベクトル値関数を f の 勾配 といい、
grad f と書く。すなわち、
(grad f) (x,y) = ( fx(x,y), fy(x,y) )
である。
下図は、 z = f(x,y) = x2 - y2 に
ついて、 grad f を表したものである。
xy平面上の赤い矢印が、その始点におけるベクトルgrad fを表す。
(grad f) (a,b) は、点 (a,b)
において、グラフの「傾斜」が最大になる方向を示し、「傾斜」が
急であればある程、大きさが大きくなるようなベクトルである
ことに注意されたい。
また、 (grad f) (a,b) は、点 (a,b)
を通る等高線に垂直になっていることにも注意されたい。