パラメーター表示された関数の微分

時刻 \( \displaystyle t \) における座標が \( \displaystyle ( x(t), y(t) ) \) によって表される曲線を考える。これは，局所的には，\( \displaystyle x \) の関数のグラフと考えられる。

そこで，その関数の微分 \( \displaystyle \frac{dy}{dx} \) を求めてみよう。

時刻が \( \displaystyle t \) から \( \displaystyle t+h \) まで変化するとき，曲線上の点は \( \displaystyle ( x(t), y(t) ) \) から \( \displaystyle ( x(t+h), y(t+h) ) \) まで変化する。

このとき，時刻 \( \displaystyle t \) の変化 \( \displaystyle dt = (t+h) - t \) に応じて，\( \displaystyle x, \;y \) はそれぞれ，微少な誤差を無視すれば，

\( \displaystyle dx = x(t+h) - x(t) = x'(t) dt \)
\( \displaystyle dy = y(t+h) - y(t) = y'(t) dt \)

だけ変化する。このことは，\( \displaystyle y \) を \( \displaystyle x \) の関数と見た時の，\( \displaystyle x(t) \) における微分係数 \( \displaystyle \frac{dy}{dx} \) がこれらの商として表されることを示している。

故に，次の公式（パラメーター表示された関数の微分の公式）が得られる。