偏微分


2変数関数 \(\displaystyle z = f(x,y) \) が与えられたとき,

\(\displaystyle \begin{align} f_x(a,b) &= \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \frac{\partial z}{\partial x}(a,b)\\ &= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h} \end{align} \)

を \(\displaystyle f \) の 点 \(\displaystyle (a,b) \) での \(\displaystyle x \) に関する 偏微分係数 という。

これは,\(\displaystyle y = b \) (定数)だと思い,\(\displaystyle f \) が あたかも \(\displaystyle x \) だけの関数だと思ったときの,\(\displaystyle x = a \) での微係数だと思うことができる。

上の図のように,\(\displaystyle z = f(x,y) \) のグラフを,平面 \(\displaystyle y = b \) で切った「切り口」を考えると, \(\displaystyle f_x (a,b) \) は,切り口に出てくる曲線の \(\displaystyle x = a \) での接線の傾きと見なすことができる。

\(\displaystyle f \) の 点 \(\displaystyle (a,b) \) での \(\displaystyle y \) に関する偏微分係数

\(\displaystyle \begin{align} f_y(a,b) &= \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) = \frac{\partial z}{\partial y}(a,b)\\ &= \lim_{k \to 0} \frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k} \end{align} \)

も同様にして考えることができる。


以上のことが図形的に把握できていれば, \(\displaystyle z = f(x,y) \) が全微分可能なとき,そのグラフの 点 \(\displaystyle (a,b) \) における 接平面 の方程式が

\(\displaystyle z=f_x(a,b)\,(x-a) + f_y(a,b)\,(y-b) + f(a,b) \)

で与えられることは容易に分かるであろう。