\( \displaystyle \int \frac{1}{(x-\alpha)^k} dx \;\; \text{（ } t=x- \alpha \text{ とおくと，} dt =dx \text{ だから）}\\ =\displaystyle \int \dfrac{1}{t^k} \; dt \\ =\begin{cases} \log \; |t| & \text{ if $k=1$ } \\[4pt] \dfrac{1}{(1-k) \; t^{k-1}} & \text{ if $k \ne 1$ } \end{cases}\\[20pt] =\begin{cases} \log \; \left|x-\alpha \right| & \text{ if $k=1$ } \\[4pt] \dfrac{1}{(1-k) \; (x-\alpha)^{k-1}} & \text{ if $k \ne 1$ } \end{cases} \)
\( \displaystyle \int \frac{B x + C}{\left( (x- \beta)^2 + \gamma^2 \right)^l }\; dx \;\; \text{（ } t=x- \beta \text{ とおくと，} dt =dx \text{ だから）}\\[20 pt] \displaystyle =\int \frac{B (t + \beta) + C}{\left( t^2 + \gamma^2 \right)^l }\; dt \\[20pt] \displaystyle =\int \frac{ \frac{1}{2} B \; 2t }{\left( t^2 + \gamma^2 \right)^l }\; dt + \int \frac{B \beta + C}{\left( t^2 + \gamma^2 \right)^l }\; dt \\[20pt] \)
ここで，
\( \displaystyle \int \frac{ \frac{1}{2} B \; 2t }{\left( t^2 + \gamma^2 \right)^l }\; dt =\frac{1}{2} B \int \frac{ 2t }{\left( t^2 + \gamma^2 \right)^l }\; dt \;\; \text{（ } u=t^2+\gamma^2 \text{ とおくと，} du = 2 t \; dt \text{ だから）}\\[20 pt] \displaystyle =\frac{1}{2} B \int \frac{ du }{u^l }\; du \\[20pt] =\begin{cases} \frac{1}{2} B \log \; \left|t^2+\gamma^2 \right| & \text{ if $l=1$ } \\[4pt] \frac{1}{2} B \dfrac{1}{(1-l) \; \left(t^2+\gamma^2\right)^{l-1}} & \text{ if $l \ne 1$ } \end{cases}\\[20pt] =\begin{cases} \frac{1}{2} B \log \; \left|(x-\beta)^2+\gamma^2 \right| & \text{ if $l=1$ } \\[4pt] \frac{1}{2} B \dfrac{1}{(1-l) \; \left((x-\beta)^2+\gamma^2\right)^{l-1}} & \text{ if $l \ne 1$ } \end{cases} \)
また， \( \displaystyle \int \frac{B \beta + C}{\left( t^2 + \gamma^2 \right)^l } \) を計算するためには，
\( \displaystyle I_l = \int \frac{1}{\left( t^2 + \gamma^2 \right)^l } \; dt \;\;(l=1,2,\ldots) \) を求めればよい。
\( \boxed{ \displaystyle I_n = \int \frac{1}{\left( t^2 + \gamma^2 \right)^n } \; dt \;\;(n=1,2,\ldots) \;\; \text{の計算} } \)
\( \boxed{ \displaystyle n=1 \text{ のとき} } \)
\( \displaystyle I_1 = \int \frac{1}{t^2 + \gamma^2} \; dt \;\;\; \text{ （ } t=\gamma \tan \theta \text{ とおくと，} dt = \gamma \frac{1}{\cos^2 \theta} \; d \theta = \gamma \left( 1+ \tan^2 \theta \right) \; d \theta \text{ だから，）}\\ \displaystyle = \int \frac{1}{\gamma^2 \left( 1+ \tan^2 \theta \right) } \gamma \left( 1+ \tan^2 \theta \right) \; d \theta \displaystyle = \frac{1}{\gamma} \int d \theta \displaystyle = \frac{1}{\gamma} \theta\\ \displaystyle = \frac{1}{\gamma} \tan^{-1} \frac{t}{\gamma} \)
\( \boxed{ \displaystyle n \geq 2 \text{ のとき} } \)
\( \displaystyle I_n = \frac{1}{\gamma^2} \left( \frac{1}{2n-2} \frac{t}{\left( t^2+\gamma^2 \right)^{n-1}} + \frac{2n-3}{2n-2} I_{n-1} \right) \) という漸化式により，\( I_1 \) から出発して順番に \(I_n\) を求めることが出来る。