有理関数の部分分数分解
有理関数を
- 整式
- 「一次式のベキ乗」分の「定数」
- 「（これ以上因数分解できないような）二次式のベキ乗」分の「一次式」
の和の形に分解することを、部分分数分解という。
より詳しく言うと、つぎのようになる。
有理関数 \( \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} \) は，\( \displaystyle f(x) \) を \( \displaystyle g(x) \)
で割って
\( \displaystyle f(x) = g(x) p(x) + r(x) \;\;\;[ \; \deg r(x) < \deg g(x) \;] \)
とすることにより，
\( \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} = p(x) + \frac{r(x)}{g(x)} \)
と書かれる。ここで \( \displaystyle g(x) \) を因数分解して，
\( \displaystyle g(x) = k \left\{ \prod_{i=1}^{n} (x- \alpha_i)^{n_i} \right\} \left\{ \prod_{j=1}^m \left((x-\beta_j)^2 + \gamma_j^2\right)^{m_j} \right\} \)
とすると，
\( \displaystyle \frac{r(x)}{g(x)}
= \sum_{i=1}^n \left\{ \sum_{k=1}^{n_i} \frac{A_{i,k}}{(x-\alpha_i)^k} \right\}
+\sum_{j=1}^m \left\{ \sum_{l=1}^{m_j} \frac{B_{j,l} \, x + C_{j,l}}{\left( (x-\beta_j)^2 + \gamma_j^2 \right)^{l}} \right\}
\) ［ \( \displaystyle A_{i,k},\;B_{j,l},\;C_{j,l} \) は定数］
と一意的に書けることが知られている。故に，
\( \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}
= p(x) + \sum_{i=1}^n \left\{ \sum_{k=1}^{n_i} \frac{A_{i,k}}{(x-\alpha_i)^k} \right\}
+\sum_{j=1}^m \left\{ \sum_{l=1}^{m_j} \frac{B_{j,l} \, x + C_{j,l}}{\left( (x-\beta_j)^2 + \gamma_j^2 \right)^{l}} \right\}
\) ［ \( \displaystyle A_{i,k},\;B_{j,l},\;C_{j,l} \) は定数］
と書けることになる。このような分解を，有理関数 \( \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} \) の部分分数分解という。