ここで，\( \displaystyle o(h^n)\) は，\( \displaystyle f(a+h)\) を\( \displaystyle h\) の \( \displaystyle n\) 次式で近似した場合の「誤差」に相当するものであり， \( \displaystyle h \to 0\) とするときに \( \displaystyle h^n\) に比べて殆ど無視できるくらいに小さな値である。
とくに \( \displaystyle n \to \infty \) のときに誤差部分 \( \displaystyle o(h^n) \) が 0 に収束する場合，次のように \( \displaystyle f(x)\) の \( \displaystyle x=a\) におけるTaylor 級数を得る。
以上により，求める Taylor 級数は，
となる。
\( \displaystyle y=f(x)\) のグラフ［青い曲線］ と， \( \displaystyle y= \)（右辺の \(\displaystyle n \) 次以下の項: \( \displaystyle n =0,1,2,3,4,5 \) ） のグラフ ［赤い曲線］ とを重ね合わせてアニメーションにすると以下のようになる。 \( \displaystyle n=5 \) くらいになると，\( \displaystyle x=0 \) の近くで非常に良い近似を与えていることがわかるであろう。
よって，求める Taylor 級数は
となる。上と同じく，次第に近似してゆく（ \( \displaystyle n=15\) まで ）様子をアニメーションで示すと以下のようになる。