2変数関数の積分の変数変換


\( \Omega \) 上で定義された関数 \(\displaystyle f(x,y) \) について,\(\displaystyle x, y \) がともに別の変数 \(\displaystyle u, v \) を用いて

\(\displaystyle x=x(u,v)\\ y=y(u,v) \)

のように表されている場合に,関数 \(\displaystyle f \) の \( \Omega \) 上での積分を, 変数 \(\displaystyle u, v \) を用いて表すことを考える。 すなわち,積分変数を \(\displaystyle x \) と \(\displaystyle y \) から \(\displaystyle u \) と \(\displaystyle v \) に取り替えることを考える。
これは, 1変数関数の定積分の変数変換(置換積分)の 「2変数関数への拡張」である。考え方は全く同じであるから, 先ず置換積分について十分に復習しておいて貰いたい。

変数 \(\displaystyle x \) が変数 \(\displaystyle t \) の関数として 表されているとき,関数 \(\displaystyle f(x) \) の \(\displaystyle x \) による積分を \(\displaystyle t \) による積分に変換するには, \(\displaystyle x'(t) \) (すなわち,\(\displaystyle t \) 軸上の小さな区間が \(\displaystyle x \) 軸上の小さな区間に何倍に移されるかという 「長さの拡大率」) を掛ける必要があった。これと同じことを2変数関数に適用するためには, 「長さの拡大率」のかわりに,
\(\displaystyle u v \) 平面上の小さな領域の面積が,\(\displaystyle x y \) 平面上の小さな領域に,面積を何倍にして移されるかという「面積の拡大率」
を考える必要があるということは自然に理解できるであろう。

そのために,まず,平面から平面への写像によって面積は 何倍にうつされるか?ということを考えてみる。

[ Step 1 ]

\(\displaystyle u v \) 平面から \(\displaystyle x y \) 平面への1次変換と平行移動における面積の拡大率

\(\displaystyle x, y \) が \(\displaystyle u, v \) の一次式

\(\displaystyle x=\alpha u + \beta v + \lambda\\ y=\gamma u + \delta v + \mu \)

によって表されている場合を考える。 (図形的には,\(\displaystyle u v \) 平面から \(\displaystyle x y \) 平面へ1次変換によって移し,さらに平行移動を施すことに対応する。) この変換によって,\(\displaystyle u v \) 平面上の領域 \( D \) が \(\displaystyle x y \) 平面上の領域 \( \Omega \) に移されたとしよう。

このとき,\( \Omega \) の面積 \( | \,\Omega\, | \) は, \( D \) の面積 \( | \,D\, | \) の \( | \, \alpha \delta - \beta \gamma \,| \) 倍になる。 (このことは,事実として認めてください。お願いします。)

[ Step 2 ]

\(\displaystyle u v \) 平面から \(\displaystyle x y \) 平面への(一般の)変換における面積の拡大率

\(\displaystyle x, y \) が \(\displaystyle u, v \) の関数として

\(\displaystyle x=x(u,v)\\ y=y(u,v) \)

のように表されている場合を考える。(図形的には, \(\displaystyle u v \) 平面から \(\displaystyle x y \) 平面への一般の変換を考えることに対応する。)この変換によって, \(\displaystyle u v \) 平面上の小さな領域 \( D \) が \(\displaystyle x y \) 平面上の小さな領域 \( \Omega \) に, 下図のように移されているとする。

ここで,\(\displaystyle x \) と \(\displaystyle y \) を,\(\displaystyle u, v \) の一次式によって近似する。つまり,関数 \(\displaystyle x (u, v) , \; y (u, v) \) を,点 \(\displaystyle (a,b) \) において次のようにテーラー展開によって近似(1次の項まで)しよう。

\(\displaystyle x \fallingdotseq x(a,b) + \frac{\partial x(a,b)}{\partial u} \, (u-a) + \frac{\partial x(a,b)}{\partial v} \, (v-b) =\frac{\partial x(a,b)}{\partial u} \, u + \frac{\partial x(a,b)}{\partial v} \, v + \text{定数}\\ \displaystyle y \fallingdotseq y(a,b) + \frac{\partial y(a,b)}{\partial u} \, (u-a) + \frac{\partial y(a,b)}{\partial v} \, (v-b) =\frac{\partial y(a,b)}{\partial u} \, u + \frac{\partial y(a,b)}{\partial v} \, v + \text{定数} \)

この1次近似によって領域 \( D \) が領域 \( \Omega_1 \) に移されたとすると, \( \Omega \) の面積と \( \Omega_1 \) の面積とはほぼ等しいと思ってもよいであろう。 故に,[ Step 1 ] から,次の式を得る。

\( \displaystyle |\,\Omega\,| \fallingdotseq |\,\Omega_1\,| = \left| \frac{\partial x}{\partial u}\,\frac{\partial y}{\partial v}\, - \frac{\partial x}{\partial v} \, \frac{\partial y}{\partial u} \right| \, |\,D\,| \\ \displaystyle = \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial (u,v)} \right| \, \left| D \right| \)

定義

\(\displaystyle \frac{\partial(x,y)}{\partial (u,v)} = \frac{\partial x}{\partial u}\,\frac{\partial y}{\partial v}\, - \frac{\partial x}{\partial v} \, \frac{\partial y}{\partial u} \) のことを \(\displaystyle x, y \) の \(\displaystyle u, v \) に関する ヤコビアン という。これは,次の行列(ヤコビ行列という)の行列式である。

\( \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v} \\ \displaystyle \frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial v} \end{bmatrix} \)


[ Step 3 ]

2変数関数の積分の変数変換

これで準備は整った。 いよいよ2変数関数の積分の変数変換の公式を導こう。

\(\displaystyle u v \) 平面上の領域 \( D \) が,変換

\(\displaystyle x=x(u,v)\\ y=y(u,v) \)

によって\(\displaystyle x y \) 平面上の領域 \( \Omega \) に移されているとする。
さらに \( \Omega \) 上で定義された関数 \(\displaystyle z = f ( x, y ) \) が与えられたとする。

ここで,領域 \( D \) を小さな領域 \( D_1,D_2,D_3\ldots \) に分割しよう。 上の変換によって各 \( D_i \) が,それぞれ \( \Omega \) の小領域 \( \Omega_i \) に移されているとすると, \( \Omega_1,\Omega_2,\Omega_3,\ldots \) は \( \Omega \) の分割になっている。

各 \( D_i \) 上に任意に点 \( (u_i,v_i) \) をとり,

\(\displaystyle x_i=x(u_i,v_i)\\ y_i=y(u_i,v_i) \)

とすれば,点 \( (x_i, y_i) \) は \( \Omega_i \) 上の点になる。

ここで,[ Step 2 ] により \( \displaystyle |\,\Omega_i\,| \fallingdotseq \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial (u,v)} \right| \, \left| D_i \right| \) となっているから,

\( \displaystyle f(x_i,y_i)\,|\,\Omega_i\,| \fallingdotseq f(x(u_i,v_i),y(u_i,v_i))\,\left| \frac{\partial(x,y)}{\partial (u,v)} \right| \, \left| D_i \right| \)

が成立する。

これをすべての \(\displaystyle i \) について足し合わせれば

\( \displaystyle \sum_i f(x_i,y_i)\,|\,\Omega_i\,| \fallingdotseq \sum_i f(x(u_i,v_i),y(u_i,v_i))\,\left| \frac{\partial(x,y)}{\partial (u,v)} \right| \, \left| D_i \right| \)

となる。ここで分割をどんどん細かくしていけば, この式の左辺は \(\displaystyle \int\!\!\int_{\Omega} f(x,y)\, dx dy \) に収束していき,また,右辺は \(\displaystyle \int\!\!\int_{D} f(x(u,v),y(u,v))\, \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial (u,v)} \right| \,du dv \) に収束していく。

故に,次の公式が得られる。

\(\displaystyle \int\!\!\int_{\Omega} f(x,y)\, dx dy = \int\!\!\int_{D} f(x(u,v),y(u,v))\, \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial (u,v)} \right| \,du dv \)

これが2変数関数の積分の変数変換の公式である。