定積分の変数変換:置換積分


区間 \(\displaystyle [a,b] \) 上で定義された 関数 \(\displaystyle y = f(x) \) の 定積分において,さらに \(\displaystyle x \) が 別の変数 \(\displaystyle t \) の関数 \(\displaystyle x = \varphi(t) \;\;(\;a=\varphi(\alpha),\;b=\varphi(\beta) \;)\) になっている場合を考える。

定積分の定義 でやったように, 区間 \(\displaystyle [a,b] \) を \(\displaystyle a = x_0, x_1,\ldots, x_{n-1}, x_n = b \) と分割し, 各区間 \(\displaystyle [x_{k-1}, x_k ] \) 内任意に点 \(\displaystyle \xi_k \) をとる。

ここで,関数 \(\displaystyle x = \varphi(t) \) により,\(\displaystyle x_k = \varphi(t_k),\; \xi_k = \varphi( \eta_k) \) と対応していたとする。

このとき,

\(\displaystyle \sum_{k=1}^n f(\xi_k)\,(x_k-x_{k-1}) \to \int_a^b f(x) \, dx\)

であったが,ここで,微分の定義より,

\(\displaystyle x_k-x_{k-1} \fallingdotseq \varphi'(\eta_k) \,(t_k-t_{k-1}) \)

であるから,

\(\displaystyle \sum_{k=1}^n f(\varphi(\eta_k)) \,\varphi'(\eta_k) \,(t_k-t_{k-1}) \to \int_a^b f(x) \, dx\)

が成立する。ところが,左辺の極限値は \(\displaystyle f(\varphi(t)) \,\varphi'(t) \) の積分, すなわち

\(\displaystyle \int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \,\varphi'(t) \, dt \)

とも考えられる。以上により

\(\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \,\varphi'(t) \, dt \)

という公式が得られる。これが定積分の変数変換(置換積分)の公式である。