定積分の変数変換:置換積分
区間 \(\displaystyle [a,b] \) 上で定義された
関数 \(\displaystyle y = f(x) \) の 定積分において,さらに \(\displaystyle x
\) が 別の変数 \(\displaystyle t \) の関数
\(\displaystyle x = \varphi(t) \;\;(\;a=\varphi(\alpha),\;b=\varphi(\beta) \;)\) になっている場合を考える。
定積分の定義
でやったように, 区間 \(\displaystyle
[a,b] \) を \(\displaystyle a = x_0, x_1,\ldots,
x_{n-1}, x_n = b \) と分割し, 各区間 \(\displaystyle
[x_{k-1}, x_k ] \) 内任意に点
\(\displaystyle \xi_k \)
をとる。
ここで,関数 \(\displaystyle x = \varphi(t) \)
により,\(\displaystyle x_k = \varphi(t_k),\; \xi_k = \varphi( \eta_k) \)
と対応していたとする。
このとき,
\(\displaystyle \sum_{k=1}^n f(\xi_k)\,(x_k-x_{k-1}) \to \int_a^b f(x) \, dx\)
であったが,ここで,微分の定義より,
\(\displaystyle x_k-x_{k-1} \fallingdotseq \varphi'(\eta_k) \,(t_k-t_{k-1}) \)
であるから,
\(\displaystyle \sum_{k=1}^n f(\varphi(\eta_k)) \,\varphi'(\eta_k) \,(t_k-t_{k-1}) \to \int_a^b f(x) \, dx\)
が成立する。ところが,左辺の極限値は \(\displaystyle f(\varphi(t)) \,\varphi'(t) \)
の積分, すなわち
\(\displaystyle \int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \,\varphi'(t) \, dt \)
とも考えられる。以上により
\(\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \,\varphi'(t) \, dt \)
という公式が得られる。これが定積分の変数変換(置換積分)の公式である。