２変数関数の積分

そのために，まず １変数関数の定積分 について，その定義をしっかりと復習してもらいたい。

区間 \(\displaystyle [a,b] \) 上で定義された１変数関数 \(\displaystyle y = f(x) \) について，

1. 定義域 \(\displaystyle [a,b] \) を細かい小区間に分割する。
2. 各小区間内に任意に点をとり，（そこでの \( f \) の値）×（小区間の長さ）の「和」を考える。
3. 分割を細かくしていった時の，その「和」の極限が定積分である。

というのが 積分のココロ であった。これと同様な考え方で，２変数関数の積分も定義していく。

まず，領域 \( \Omega \) を細かい小領域 \( \Omega_1,\, \Omega_2,\, \Omega_3,\ldots \) に分割する。各小領域 \(\Omega_k\) に任意に点 \( P_k (\xi_k,\eta_k) \) をとり，そこでの \(\displaystyle f \) の値 \( f(\xi_k,\eta_k) \) を考える。

さらに， \( f(\xi_k,\eta_k) \) に \(\Omega_k\) の面積 \( \left| \Omega_k \right|\) を掛け合わせたもの \( f(\xi_k,\eta_k)\left| \Omega_k \right| \) を考える。 （この値は，\(\displaystyle f > 0 \) ならば，下図のピンク色の立体の体積を表す。）

この値 \( f(\xi_k,\eta_k)\left| \Omega_k \right| \) を総ての小領域について足し合わせた結果得られる値

の，分割を細かくしていったときの極限値を，\(\displaystyle f \) の \( \Omega \) 上での積分（あるいは，２重積分，あるいは，重積分）といい \(\displaystyle \int\!\!\int_{\Omega} f(x,y)\, dx dy \) と表す。即ち

である。

なお，この定義から明らかなように，

• \(\displaystyle f (x, y) > 0 \) のとき，\(\displaystyle \int\!\!\int_{\Omega} f(x,y)\, dx dy \) は 「\(\displaystyle f \) のグラフと \(\displaystyle xy \) 平面で囲まれた部分の体積」を表す。

  →その様子を QuickTime movie で見る

• \(\displaystyle f (x, y) > 0 \) と限らないとき，\(\displaystyle \int\!\!\int_{\Omega} f(x,y)\, dx dy \) は， \(\displaystyle f \) のグラフと \(\displaystyle xy \) 平面で囲まれた部分のうち，

  （\(\displaystyle xy \) 平面よりも上の部分の体積）\(\displaystyle - \) （\(\displaystyle xy \) 平面よりも下の部分の体積）

  を表す。