\(\displaystyle f_x(a,b) = f_y(a,b) = 0 \) を みたすのは，\(\displaystyle (a,b) = (0,0) \) のみである。
\(\displaystyle D(0,0) = -4 < 0,\;\; f_{xx}(0,0) = 2 > 0 \) であるから，\(\displaystyle f \) は \(\displaystyle (0,0) \) において 極小になる。グラフ上の，赤や青の曲線を見れば，「どちらの方向を向いても \(\displaystyle (0,0) \) において \(\displaystyle f \) の値が極小になっている」 ということが分かるであろう。
この例でも，\(\displaystyle f_{x}(a,b) = f_{y}(a,b) = 0 \) を みたすのは，\(\displaystyle (a,b) = (0,0) \) のみであるが， \(\displaystyle D(0,0) = 4 > 0 \) であるから，\(\displaystyle f \) は \(\displaystyle (0,0) \) において 極大でも極小でもない。グラフ上の，赤や青の曲線を見れば，「考えている方向に応じて， \(\displaystyle (0,0) \) において \(\displaystyle f \) の値が極大になったり 極小になっている（故に，２変数関数としては，極大でも極小でもない）」 ということが分かるであろう。
→ この様子を QuickTime Movie で見る。
\(\displaystyle f_{x}(a,b) = f_{y}(a,b) = 0 \) を みたすのは，\(\displaystyle (a,b) = (0,0), (1,1) \) である。\(\displaystyle (0,0) \) においては，\(\displaystyle D(0,0) = 9 > 0 \) であるから，\(\displaystyle f \) は極大でも極小でもない。
\(\displaystyle (1,1) \) においては， \(\displaystyle D(1,1) = -27 < 0, f_{xx}(0,0) = 6 > 0 \) であるから，\(\displaystyle f \) は極小になる。
このグラフは，「山の中腹に，点\(\displaystyle (1,1) \) を底に持つような 小さな池がある」というような地形を想像して貰うと理解しやすいであろう。 そして，「増水してくると，点 \(\displaystyle (0,0) \) を通って水が 溢れ出してくる」ような状況になっている訳である。
\(\displaystyle f_{x}(a,b) = f_{y}(a,b) = 0 \) を みたすのは，\(\displaystyle (a,b) = (0,0) \) のみであるが， \(\displaystyle D(0,0) = 0 \) のため，極値をとるか否かは 極値を求めるための定理 だけからは判断できない。しかし，\(\displaystyle y = 0 \) のとき，
- \(\displaystyle x < 0 \) ならば \(\displaystyle z < 0 \) ,
- \(\displaystyle x > 0 \) ならば \(\displaystyle z > 0 \)
であるから，\(\displaystyle (0,0) \) において極大でも極小でもないことは明らかであろう。
\(\displaystyle f_{x}(a,b) = f_{y}(a,b) = 0 \) を みたす\(\displaystyle (a,b) \) のうち，\(\displaystyle (a,b) = (0,0) \) において \(\displaystyle D(0,0) = 0 \) となってしまうので，\(\displaystyle 「(a,b) = (0,0) \) において極値をとるか否か」は 極値を求めるための定理 だけでは判断できない。しかしながら，\(\displaystyle z = f(x,y) \) のグラフと 平面\(\displaystyle y = k x \) との交わり方をよく見れば，\(\displaystyle (0,0) \) において極値をとらないことが分かると思う。
→ QuickTime Movie でその様子を見る。計算によって，このことを証明するのは，皆さんへの課題とする。