極大・極小

\( \require{color} \) ２変数関数 \(\displaystyle z = f(x,y) \) の極値について考える。

\( \displaystyle z=f(x,y) \text{ が } (a, b) \text{ で極値をとる} \implies f_x(a,b)=f_y(a,b)=0 \)

ということは常に成立することであるが，逆に

\( \color{red}{ \displaystyle f_x(a,b)=f_y(a,b)=0 \implies z=f(x,y) \text{ が } (a, b) \text{ で極値をとるか？} } \)

という問題について考えてみよう。

\(\displaystyle f(x,y) \) を，点 \(\displaystyle (a,b) \) において Taylor 展開 すると，

\( \displaystyle \color{red}{f(a+h,b+k) - f(a,b)}\\ \displaystyle=f_x(a,b)\,h + f_y(a,b)\,k + \frac{1}{2}\left[ f_{xx}(a,b)\,h^2 + 2 f_{xy}(a,b)\,hk + f_{yy}(a,b)\,k^2\right]+R_3 \\ \displaystyle \color{read}{ \fallingdotseq \frac{1}{2}\left[ f_{xx}(a,b)\,h^2 + 2 f_{xy}(a,b)\,hk + f_{yy}(a,b)\,k^2\right] } \;\cdots\; (*) \)

ここで，簡単のために \(\displaystyle \alpha = f_{xx}(a,b),\; \beta = f_{xy}(a,b),\; \gamma=f_{yy}(a,b) \) とおけば，

\( \displaystyle (*) = \color{red}{ \frac{1}{2}\left[ \alpha \,h^2 + 2 \beta \,hk + \gamma \,k^2\right] } \color{black}{\cdots (**)} \)

故に，\(\alpha \, h^2 + 2 \beta \, hk + \gamma \, k^2 \) が \( (h,k)=(0,0) \) で 極値をとるかどうかを調べれば良い。 ここで，\( c \) を任意の定数とし，\( h = c\,k \) とおけば，

\(\displaystyle (**) = \color{red}{\frac{1}{2} \left( \alpha c^2 + 2 \beta c + \gamma \right) \,k^2} \)

\( \alpha \neq 0 \) のとき \( \alpha c^2+ 2 \beta c + \gamma \) は \(c\) の ２次式であり，その値は，

以上の考察により，次の定理を得る。

THEOREM

\( f_x(a,b)=f_y(a,b)=0 \) のとき，
\(\displaystyle \color{red}{D(a,b)=\left\{ f_{xy}(a,b) \right\}^2 - f_{xx}(a,b)\,f_{yy}(a,b)} \) とおけば，
\(f(x,y) \) は，\( (x,y)=(a,b) \) において，

\(\color{red}{ D(a,b) < 0 }\) のとき
\(\color{red}{\displaystyle f_{xx}(a,b) > 0} \) ならば，極小。
\(\color{red}{\displaystyle f_{xx}(a,b) < 0} \) ならば，極大。
\( \color{red}{D(a,b) > 0} \) のとき
極大でも極小でもない。
\( \color{red}{D(a,b) = 0} \) のとき
わからない（極大になる場合も，極小になる場合も，そのいずれでもない場合もあるので，個別に考察する必要がある）。

次のページで， 極大・極小の例 を示す。