累次積分

\( \displaystyle xy \) 平面上の領域 \( \Omega \) で定義された２変数関数 \( \displaystyle z = f(x,y) \) の積分

\(\displaystyle \int\!\!\int_{\Omega} f(x,y) \, dx\,dy \)

を，その 定義 の通りに計算することは，残念ながら極めて難しい。そこで我々は， 累次積分（あるいは，逐次積分）と呼ばれる計算方法によって ２重積分を計算することにする。

逐次積分とは，簡単にいうと，
先ず \( \displaystyle y \) 軸方向に積分し，その後で \( \displaystyle x \) 軸方向に積分する（或いは，逆に，先ず \( \displaystyle x \) 軸方向に積分し，その後で \( \displaystyle y \) 軸方向に積分する）
ことによって ２重積分を計算する方法である。
そのために，まず１変数関数の定積分を用いて 図形の体積を求める方法 をしっかりと 復習して貰いたい。そのココロは，「立体の体積を求めるためには，平面でその立体を 切ったときの切り口の面積を積分すればよい」ということであった。 このことと，「\( \displaystyle f > 0 \) のとき， \(\displaystyle \int\!\!\int_{\Omega} f(x,y) \, dx\,dy \) は， \( \displaystyle z = f ( x, y ) \) のグラフと\( \displaystyle xy \) 平面とで囲まれた部分の 体積を表す」ということとを組み合わせれば逐次積分の方法というのが自ずと見えてくる であろう。
以下簡単のために，\( \displaystyle f > 0 \) の場合のみを考えることにする。 \( \displaystyle f > 0 \) とは限らない場合にも同様に考えていけばよい。 最終的な公式は，\( \displaystyle f > 0 \) でなくても成立する。

先ず\( \displaystyle y \) 軸方向に積分し，その後で\( \displaystyle x \) 軸方向に積分する方法

領域 \( \Omega \) が，\( \displaystyle a \leq x \leq b \) の範囲内 に含まれているとする。そして，このような各 \( \displaystyle x \) について， \( \Omega \) 内の点の \( \displaystyle y \) 座標が \(\displaystyle \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x) \) のように表されるとする。つまり，

\(\displaystyle \Omega = \left\{ (x,y) \;\;\left| \;\; a \leq x \leq b,\; \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x) \right. \right\} \)

であるとする。このとき，\( \displaystyle z = f (x,y) \) と \( \displaystyle xy \) 平面で囲まれる図形を，\( \displaystyle x \) 座標が \( \displaystyle x \) であるような平面で切ったときの切り口（下図の赤い部分）の面積 \( \displaystyle S ( x ) \) は，

\(\displaystyle S(x) = \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y) \, dy \)

で表される。

この「切り口の面積 \( \displaystyle S (x) \) 」を \( \displaystyle a \leq x \leq b \) の範囲で積分してやれば，全体の体積が求められる。故に，

\(\displaystyle \int\!\!\int_{\Omega} f(x,y) \, dx\,dy = \int_a^b S(x) \, dx \\[8pt] \displaystyle =\int_a^b \left( \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y) \, dy \right) \, dx \)

という公式が得られるわけである。

先ず\( \displaystyle x \) 軸方向に積分し，その後で\( \displaystyle y \) 軸方向に積分する方法

上と同様にして，積分の順序を入れ替えて考えることもできる。

領域 \( \Omega \) が，\( \displaystyle c \leq y \leq d \) の 範囲内に含まれているとする。そして，このような各 \( \displaystyle y \) について， \( \Omega \) 内の点の \( \displaystyle x \) 座標が \( \displaystyle \psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y) \) のように表されるとする。つまり，

\(\displaystyle \Omega = \left\{ (x,y) \;\;\left| \;\; c \leq y \leq d,\; \psi_1(y) \leq x \leq \Psi_2(y) \right. \right\} \)

であるとする。このとき，\( \displaystyle z = f ( x, y ) \) と\( \displaystyle xy \) 平面で 囲まれる図形を，\( \displaystyle y \) 座標が\( \displaystyle y \) であるような平面で切った ときの切り口（下図の濃青色の部分）の面積 \( \displaystyle S ( y ) \) は，

\(\displaystyle S(y) = \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y) \, dx \)

で表される。

この「切り口の面積 \( \displaystyle S (y) \) 」を \( \displaystyle c \leq y \leq d \) の 範囲で積分してやれば，全体の体積が求められる。故に，

\(\displaystyle \int\!\!\int_{\Omega} f(x,y) \, dx\,dy = \int_c^d S(y) \, dy \\[8pt] \displaystyle =\int_c^d \left( \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y) \, dx \right) \, dy \)

という公式が得られるわけである。

以上２通りの方法のうち，どちらを使ったほうが良いのか？ということを一般的に 決定することはできない。与えられた問題の諸条件 （ \( \Omega \) の形や，\( \displaystyle f \) の形など） を見極めて総合的に判断していかなくてはならない。 このような判断力を身につけるためには，練習問題を解く以外には方法はない。 故に，「数多くの練習問題を良く考えながら解いてみる」ということが絶対的に 必要不可欠である。

よくある間違い

例えば下図のような \( \Omega \) 上で関数\( \displaystyle f(x,y) \) を 積分するとき，

としてしまう人が時々見られる。この右辺の積分は，下図の赤い長方形（内部および周）で 積分していることになり， \( \Omega \) 上での積分とはまったく違う ことに注意して欲しい。